[2015년 안곡고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

두 수의 대소 관계를 비교한 중 옳은 것은? [3.4점]

③

① [eqn: root {3} of {27} > root {3} of {45}]	② [eqn: ( sqrt {2} ) ^{{1} over {4}} >( sqrt {8} ) ^{{1} over {2}}]

③ [eqn: ( root {3} of {0.25} ) ^{4} <( root {5} of {0.5} ) ^{8}]	④ [eqn: 3log _{2} 5<4log _{2} 3]

⑤ [eqn: 2log _{0.3} 6<3log _{0.3} 4]

지수방정식 [eqn: 2 ^{2x} +1`=`4 cdot 2 ^{x} `+`2 ^{x-2}]을 만족시키는 해의 곱은? [3.9점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

부등식 [eqn: 3 ^{x ^{2} -1} LEQ 9 cdot 9 ^{x}]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는? [3.8점]

②

① [eqn: 2]개	② [eqn: 3]개	③ [eqn: 4]개

④ [eqn: 5]개	⑤ [eqn: 6]개

실내에 방향제 [eqn: A rm g]을 뿌리고 [eqn: t]시간이 지난 후 실내에 남아 있는 방향제의 양을 [eqn: f(t) rmg]이라고 하면 [eqn: f(t)=A cdot 2 ^{- {t} over {a}}]이 성립한다고 한다. 실내에 방향제 [eqn: 8 rmg]을 뿌리고 [eqn: 6]시간 후에 실내에 남아 있는 방향제이 양이 [eqn: 1 rmg]이라고 한다. 이 실내에 남아 있는 방향제의 양이 [eqn: 0.5 rmg] 이하가 되는 것은 방향제를 뿌리고 몇 시간 후부터 인지 구하면? (단 [eqn: a]는 상수)［4.0점]

②

① [eqn: 7]시간 후	② [eqn: 8]시간 후	③ [eqn: 9]시간 후

④ [eqn: 10]시간 후	⑤ [eqn: 11]시간 후

지수함수 [eqn: y=a ^{x}]의 그래프와 로그함수 [eqn: y=log _{b} x]의 그래프가 항상 만나는 경우를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

⑤

ㄱ. [eqn: a>1], [eqn: b>1]

ㄴ. [eqn: a>1], [eqn: 0<b<1]

ㄷ. [eqn: 0<a<1], [eqn: b>1]

ㄹ. [eqn: 0<a<1], [eqn: 0<b<1]

① ㄴ, ㄷ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

지수함수와 로그함수의 극한을 조사한 것 중 옳은 것은? [3.6점]

④

① [eqn: lim _{x -> 0+} {log _{5} x= INF }]	② [eqn: lim _{x -> inf} {log _{{1} over {4}} x} =0]

③ [eqn: ` lim _{x`->inf} {3 ^{x} =-inf}]	④ [eqn: lim _{x->-inf} {3 ^{x} =0}]

⑤ [eqn: lim _{x->inf} {log _{{1} over {4}} x} =inf]

곡선 [eqn: y=log _{2} x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP it (t,```log _{2} t)]와 두 점 [eqn: rm A(1,```0)],
[eqn: rm B(3,```0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라고 할 때,
[eqn: lim _{t -> 1+} {{t-1} over {S(t)}}]의 값을 구하면? [4.1점]

③

① [eqn: {1} over {ln2}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: ln2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x->0} {{f(x)} over {ln(1+x)} =3}]를 만족 할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)+e ^{x} -1} over {ln(1+x)}}]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: `0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 0<x<2]일 때, 두 곡선 [eqn: y=ln(1+x)], [eqn: y=ln(3-x)]의 교점을 [eqn: rm A]라고 하자. 점 [eqn: rm P(it t,```ln(3-t))]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 곡선 [eqn: y=ln(1+x)]의 교점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 점 [eqn: rm Q]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선과 점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선의 교점을 [eqn: rm R]이라고 하자. 삼각형 [eqn: rm PQA]의 넓이를 [eqn: f(t)], 삼각형 [eqn: rm AQR]의 넓이를 [eqn: g(t)]라고 할 때, [eqn: lim _{t -> 1} {{f(t)} over {g(t)}}]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: `0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{3} lnx]에 대하여 [eqn: f`'(e)]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: 8e ^{2}]	② [eqn: 6e`+`e ^{2}]	③ [eqn: 6e`-2e ^{2}]

④ [eqn: 6e`+2e ^{2}]	⑤ [eqn: 6e`+2e ^{3}]

그림은 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {3}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개 그린 후 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림이다. 색칠한 부분의 넓이는? [3.6점]

②

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi } over {3}]	③ [eqn: {pi} over {2}]

④ [eqn: {2pi} over {3}]	⑤ [eqn: {5pi} over {6}]

[eqn: lim _{x -> 0} {{x(sin5x+sinx)} over {sec ^{2} x-1}}]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: y=sin ^{3} x+6cos ^{2} x+3cos2x+1]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi)] [4.0점]

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

오실로스코프를 이용하면 직류와 교류의 전압과 파형을 측정할 수 있다. 어느 교류에서 시간을 [eqn: t]초, 교류 전압을 [eqn: y rmV]라고 하면, 이 교류의 파형은 삼각함수 [eqn: y=150 sqrt {2} rm sin 100pi it t]의 그래프로 나타난다고 한다. [eqn: 0 LEQ t LEQ 2]일 때, 교류 전압이 [eqn: 150 rmV] 이상인 시간의 총 합은? [4.1점]

②

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+a=0]의 한 근이 [eqn: cos` theta +i`sin theta]일 때, 나머지 다른 한 근을 [eqn: alpha]라고 하자. [eqn: alpha ^{10}]의 값은?
(단, [eqn: 0 LEQ theta < pi], [eqn: i= sqrt {-1}]) [4.3점]

⑤

* [eqn: a]가 실수라고 적어줬어야 하지 않나..

① [eqn: {-1- sqrt {3} i} over {2}]	② [eqn: {1- sqrt {3} i} over {2}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: {1+ sqrt {3} i} over {2}]	⑤ [eqn: {-1+ sqrt {3} i} over {2}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+4=0]의 두 근이 [eqn: tan alpha], [eqn: tan beta]일 때, [eqn: LEFT | tan(alpha-beta) RIGHT |]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {2 sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{e ^{2x} -1} over {sin3x}&`(x != 0)#``a&`(x=0)}}]가 실수 전체의 집합에서 연속 일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: e=2.718281 CDOTS] ) [3.7점]

②

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라고 하자. 직선 [eqn: rmPQ]와 수직이고 점 [eqn: rm Q]를 지나는 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 점 [eqn: rm A(1,` `0)]에 대하여
[eqn: ANGLE rm POA`=theta LEFT ( 0<theta< {pi} over {2} RIGHT )]라 할 때, [eqn: rm lim _{theta -> 0+} {{bar{QR} - bar{OP}} over {bar{AQ}}}]의 값은? (단. 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=sinpi x]의 그래프와 직선 [eqn: y= {2} over {3}]가 만나는 점 중에서 그림과 같이 이웃하는 세 점의 [eqn: x]좌표를 차례로 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] 라고 할 때, [eqn: f( alpha +2 beta +3 gamma )+f LEFT ( alpha +2 beta +2 gamma + {1} over {3} RIGHT )]의 값은?[4.5점]

④

① [eqn: {-8 sqrt {5} +6-3 sqrt {15}} over {9}]	② [eqn: {-8 sqrt {5} -6+3 sqrt {15}} over {18}]

③ [eqn: {8 sqrt {5} -6-3 sqrt {15}} over {9}]	④ [eqn: {-8 sqrt {5} +6-3 sqrt {15}} over {18}]

⑤ [eqn: {-8 sqrt {5} +6-3 sqrt {15}} over {3}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2n pi]일 때, 방정식 [eqn: 4cos2nx+1=0]의 근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {} int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT ( sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} x ^{k-1} RIGHT ) dx}]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

서술형

[eqn: x>0]일 때, 함수 [eqn: f(x)=lnx ^{sinx}] 위의 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {2} ,```ln {pi} over {2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기를 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [4.0점]

[eqn: {2} over {pi}]

로그부등식 [eqn: 2log _{3} (x+1) LEQ 1+log _{3} LEFT ( x+ {7} over {3} RIGHT )]을 만족하는 정수인 해의 개수를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 4]개

자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= {cases{LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{x} cosx+x ^{2} sin {1} over {x} &```(x != 0)#1&```(x=0)}}]
일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} `f`'(0)]의 값을 구하고 풀이과정을 서술하시오.
[10.0점]

[eqn: ln`11]

[2015년 안곡고]

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

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